B.2 $\chi^{2}$ 確率関数

　確率変数$X$ が標準正規分布$N(0,1)$ に従うとする．標準正規分布とは，平均が0，分散が1の正規分布のことで，

$$N(0,1)=\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} }e^{-\frac{x^{2}}{2}}$$ (B.1)

に従う．

　このとき，$Z=X^{2}$ の従う分布密度関数$T_{1}(z)$ を求める．

　確率変数$z$ の分布関数$F(z)$ は

$$F(z)\equiv Probability(X^{2}<z)$$ (B.2)

で定義される．$X^{2}<z$ であるので，$F(z)$ は，

$$-\sqrt{z}<X<\sqrt{z}$$ (B.3)

である．従って，

$$F(z)=\int^{\sqrt{z}}_{-\sqrt{z}}\phi(x)dx.$$ (B.4)

()より，$\phi(x)$ は偶関数なので，

$$F(z)=2\int^{\sqrt{z}}_{0}\phi(x)dx$$ (B.5)

と，変形できる．

　$z$ の分布密度関数$T_{1}(z)$ は，この分布関数を$z$ で微分すればよく，

$$\begin{aligned} T_{1}(z)&=\frac{dF(z)}{dz},\\ &=\frac{d}{dz}\l... ...ac{1}{\sqrt{2\pi}}z^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{z}{2}}. \end{aligned}$$ (B.6)

従って，()と，()の$z$ の境界条件を考慮すると，

$$T_{1}(z)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}z^... ...e^{-\frac{z}{2}}\hspace{5mm}(z>0)\\ 0\hspace{24.55mm}(z\leq 0) \end{cases}$$ (B.7)

となる．

　次に， $Z=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}$ が従う$T_{2}(z)$ を求める．$T_{2}(z)$ は，畳み込み積分で求めることができる．ただし，$y\leq 0$ のとき， $T_{1}(y)=0$ であるので，変域は制約される．従って，

$$T_{2}(z)= \begin{cases} \displaystyle \int^{z}_{0}T_{1}(z-y)T_{1}(y)dy\hspace{5mm}(z>0)\\ 0\hspace{37.9mm}(z\leq 0) \end{cases}$$ (B.8)

　ここで，()を適用する．

$$\begin{aligned} T_{2}(z)&=\int^{z}_{0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(z-y... ...y}{z}-\left(\frac{y}{z}\right)^{2}}\frac{dy}{z}.\\ \end{aligned}$$ (B.9)

$$t=\frac{y}{z}$$ とすると，$dy=zdt$ となるので，代入すると，

$$T_{2}(z)=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{z}{2}}z\int^{1}_{0}\sqrt{t(1-t)}dt\\$$ (B.10)

ここで，右辺積分部は，

$$B(z,w)=B(w,z)\equiv \int^{1}_{0}t^{z-1}(1-t)^{w-1}dt$$ (B.11)

で定義されるベータ関数で記述できる．従って， $z=1/2,w=1/2$ とすると

$$T_{2}(z)=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{z}{2}}zB\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$ (B.12)

と変形できる．

　さらに，ベータ関数は

$$\Gamma(z)\equiv\int^{\infty}_{0}t^{z-1}e^{-t}dt$$ (B.13)

で，定義されるガンマ関数と，

$$B(z,w)=\frac{\Gamma(z)\Gamma(w)}{\Gamma(z+w)}$$ (B.14)

の関係があるので，それを適用すると，

$$T_{2}(z)=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{z}{2}}z\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(1)}.$$ (B.15)

である．ここで， $n!=\Gamma(n+1)$ と鏡映公式

$$\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\Gamma(z)\sin(\pi z)}=\frac{\pi z}{\Gamma(1+z)\sin(\pi z)}$$ (B.16)

を用いると，

$$\begin{aligned} \Gamma\left( 1-\frac{1}{2}\right)&=\frac{\pi}{\... ...t)},\\ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)&=\sqrt{\pi}. \end{aligned}$$ (B.17)

　これを，()に適用すると，

$$\begin{aligned} T_{2}(z)&=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{z}{2}}z\frac{... ...i}\sqrt{\pi}}{1},\\ &=\frac{1}{2}ze^{-\frac{z}{2}} \end{aligned}$$ (B.18)

である．

　これを一般化すると，$\nu$ 個の変数 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{\nu}$ が互いに独立で，それぞれが$N(0,1)$ に従うとき， $Z=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots+X_{\nu}^{2}$ の分布 $T_{\nu}(z)$ は，

$$T_{\nu}(z)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2^{\frac{\nu... ...}}e^{-\frac{z}{2}}\hspace{5mm}&(z>0)\\ 0&(z\leq 0) \end{cases}$$ (B.19)

となる．これは畳み込み積分の性質

$$\int^{z}_{0}T_{n-1}(z-y)T_{1}(y)dy$$ (B.20)

を利用すると，帰納的に説明できる．

この，()に従う分布を，自由度$\nu$ の$\chi^{2}$ 分布と呼び，$\chi^{2}$ 検定をする際に必要な関数である． 図に，それぞれ自由度 $\nu=1,2,5,48$ の場合の$\chi^{2}$ 分布を示す．このように，自由度によって，ピークが次第に丸くなっていき，その極大値は小さくなっていく．$\chi^{2}$ 検定とは，観測度数を$N_{i}$ ，期待度数を$N_{i}$ とするとき，

$$\chi^{2}=\sum_{i}\frac{N_{i}-n_{i}}{n_{i}}$$ (B.21)

を求めたときの$\chi^{2}$ の値が，有意水準$\alpha$ に対して$T_{\nu}$ よりも大きいか，小さいかを比較する．$\chi^{2}$ が大きいと，帰無仮説はあまり成立しそうにないといえる．

図: $\nu=1,2,5,48$ の場合の$\chi^{2}$ 分布.